Question

8．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=1．

Answer 1

分析 根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，由此可利用勾股定理即可CP的值，则AP的长也可求出．

解答 解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，
∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∵∠APB=∠CP'B=135°，
∴∠PP'C=90°，
∵BP=2，
∴PP′=$\sqrt{B{P}^{2}+BP{′}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵PC=3，
∴CP'=$\sqrt{P{C}^{2}-PP{′}^{2}}$=$\sqrt{9-8}$=1，
∴AP=CP′=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得△PP′C是直角三角形是解题关键．