小威遇到这样一个问题:如图1.在Rt△ABC中.AC=BC.CD⊥AB.垂足为点D.AE⊥GC.BF⊥GC.垂足为F.E.连接DE．小威通过探究发现.如图2.连接DF.证明△ADE≌△CDF.使问题得到解决．参考小威思考问题的方法.解答下列问题:(1)根据阅读材料解答AE与CF的数量关系.DE与EF的数量关系．(2)如图3.如果把上题中条件� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．小威遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，垂足为点D，AE⊥GC，BF⊥GC，垂足为F，E，连接DE．
小威通过探究发现，如图2，连接DF，证明△ADE≌△CDF，使问题得到解决．

参考小威思考问题的方法，解答下列问题：
（1）根据阅读材料解答AE与CF的数量关系，DE与EF的数量关系．
（2）如图3，如果把上题中条件“AC=BC”改为“AC=kBC”（k为常数，k＞0），其他条件不变，求$\frac{EF}{DE}$的值．（用含k的式子表示）

分析（1）如图1中，结论：AE=CF．只要证明△ACE≌△CBF即可．结论：EF=$\sqrt{2}$DE，由△DCF≌△DAE，推出DE=DF，∠CDF=∠ADE，推出∠EDF=∠ADC=90°，
推出△EDF是等腰直角三角形，即可解决问题．
（2）如图3中，结论：$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．想办法证明△ADE∽△CDF，推出$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AE}{CF}$=k，∠ADE=∠CDF，∠EDF=∠ADC=90°，设DF=m，则DE=km，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•m，由此即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，结论：AE=CF．理由如下，

∵AC=BC，∠ACB=∠BFC=∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠CBF}\\{∠AEC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF．

如图2中，结论：EF=$\sqrt{2}$DE，理由如下，
连接DF．

∵AE⊥CE，BF⊥CE，CD⊥AB，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠FCD+∠CGD=90°，∠DAE+∠AGE=90°，
∵∠AGE=∠CGD，
∴∠EAD=∠FCD，
∵CA=CB，
∴AD=DB，
∴CD=AD=DB，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠DCF=∠DAE}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE，
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE．

（2）如图3中，结论：$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．理由如下，
连接DF．

∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，∵∠ADC=∠CDB，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=k，
由（1）可知，∠ACE=∠CBF，∵∠AEC=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=k，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$=k，∵∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AE}{CF}$=k，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
设DF=m，则DE=km，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•m，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•m}{km}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．