Question

13．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B，C分别在AD，AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交AF，CF于点N，H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3$\sqrt{2}$时，求线段AN的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论；
（2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可；
②作BM⊥AD于M，在Rt△AMB中，由∠BAM=45°，AB=2，推出AM=BM=$\sqrt{2}$，DM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，由BM∥AN，推出$\frac{BM}{AN}$=$\frac{DM}{DA}$即可解决问题；

解答 解：（1）BD=CF．
理由如下：如图2中，由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAF=∠BAD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD，
∴BD=CF；

（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，
∴∠CFA=∠BDA，
∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，
∴∠CFA+∠FNH=90°，
∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②如图3中，作BM⊥AD于M，

在Rt△AMB中，∵∠BAM=45°，AB=2，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，DM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
BM∥AN，
∴$\frac{BM}{AN}$=$\frac{DM}{DA}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{AN}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴AN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助线是解题的关键．