如图.在矩形OABC中.F是AB上的一个动点.过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与BC边交于点E．(1)当F为AB的中点.四边形OFBE的面积为6时.求该函数的解析式,(2)连接OB交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点D.若点D横坐标为2$\sqrt{2}$.$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，在矩形OABC中，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点，四边形OFBE的面积为6时，求该函数的解析式；
（2）连接OB交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点D，若点D横坐标为2$\sqrt{2}$，$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，求点B坐标；
（3）在（2）的条件下，当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

分析（1）分别设出E、F的坐标，从而可表示出B点坐标，利用S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAF=6得到关于k的方程，可求得函数解析式；
（2）过D作DM⊥OA于点M，由条件可求得D点坐标，再由平行线分线段成比例可求得OA和AB的长，从而可求得B点坐标；
（3）用k可分别表示出E、F的坐标，从而可表示出△EFA的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答解：
（1）在矩形OABC中，设点E坐标为（a，b），点F坐标为（x，y），则点B坐标为（x，2y），
∴${S_{△OCE}}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}k$，${S_{△OAF}}=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}k$，S_矩形OABC=2xy=2k，
∵S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAF=6，
∴$2k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$，解得k=6，
∴该函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$．

（2）过点D，作DM⊥OA于点M，如图1，

由题意可知D点横坐标为$x=2\sqrt{2}$，则纵坐标$y=\frac{6}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
∵DM∥BA，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{DM}{BA}=\frac{OD}{OB}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得OA=4，$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{BA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得AB=3，
∴点B坐标为（4，3）；

（3）E，F两点坐标分别为E（$\frac{k}{3}$，3），F（4，$\frac{k}{4}$），
∴S_△EFA=$\frac{1}{2}$AF•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{k}{4}$（4-$\frac{k}{3}$）=-$\frac{1}{24}$k²+$\frac{1}{2}$k=-$\frac{1}{24}$（k-6）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{1}{24}$＜0，
∴当k=6时，S有最大值，S_最大值=$\frac{3}{2}$．

点评本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、平行线分线段成比例、二次函数的性质、方程思想及整体思想等知识．在（1）中用k表示出四边形OFBE的面积是解题的关键，在（2）中利用平行线分线段成比例求得AB和OA的长是解题的关键，在（3）中用k表示出△EFA的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．