Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y₁=x+m与双曲线C；y₂=$\frac{k}{x}$相交于A、B两点，其中A点（2，5），AC⊥y轴于C．
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）直接写出x＜2时．反比例函数值y₂的取值范围；
（3）点E为B点下方直线AB上一动点，直线EF⊥AB，
分别与直线AB、双曲线C、y轴交于E、F、G三点，求EF•FG的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A点坐标，利用待定系数法可坟得直线AB和双曲线C的解析式；
（2）结合图象可知反比例函数图象应该在A点的左侧，则可求得其函数值的取值范围；
（3）过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥y轴于点N，过F作FP⊥EM于点P，由AB的解析式可求得∠EGM=∠EFP=∠MEG=45°，可设E（t，t+3），F（s，$\frac{10}{s}$），利用等腰直角三角形的性质可得到t、s之间的关系，再利用s表示出EF•FG，利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵A（2，5）为两函数图象的交点，
∴5=2+m，5=$\frac{k}{2}$，解得m=3，k=10，
∴直线解析式为y=x+3，双曲线解析式为y=$\frac{10}{x}$；

（2）∵A（2，5），
∴当x＜2时，即反比例函数图象在A点的左侧，
∴反比例函数值y₂的取值范围为y₂＜0或y₂＞5；

（3）如图，过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥y轴于点N，过F作FP⊥EM于点P，

∵直线AB解析式为y=x+3，EF⊥AB，
∴∠EGM=∠EFP=∠MEG=45°，
∴EP=PF，FN=GN，
设E（t，t+3），F（s，$\frac{10}{s}$），
∴s-t=t+3-$\frac{10}{s}$，解得t=$\frac{s}{2}$+$\frac{5}{s}$-$\frac{3}{2}$，
∵EF=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$（s-t），FG=$\sqrt{2}$（-s），
∴EF•FG=-2s（s-t）=-2s（s-$\frac{s}{2}$-$\frac{5}{s}$+$\frac{3}{2}$）=-s²-3s+10=-（s+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{4}$，
由直线AB与双曲线解析式可求得B（-5，-2），
∵点E在点B下方，
∴t＜-5，即$\frac{s}{2}$+$\frac{5}{s}$-$\frac{3}{2}$＜-5，解得s＞-2，
∴当s=-$\frac{3}{2}$时，EF•FG有最大值$\frac{49}{4}$，
∴EF•FG的最大值为$\frac{49}{4}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合思想的应用，在（3）中用E、F的坐标表示出EF•FG，得到一个二次函数，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．