Question

15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，AE=CF．求证：△DEF是等腰直角三角形（提示：用到三线合一）

Answer 1

分析 连接CD，由等腰直角三角形的性质得出CD=$\frac{1}{2}$BA=AD=BD，∠A=∠DCF=45°，由SAS证明证明△ADE≌△CDF，可得DF=DE，∠CDF=∠ADE，即可求得∠EDF=90°，即可得出结论．

解答 证明：连接CD，
∵AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，
∴AD=CD，∠A=∠BCD=45°，∠ADC=∠CDB=90°，
在△ADE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴，△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．