Question

10．已知：AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，过点C作⊙O的割线，与⊙O交于D、E两点，OF是△BOD的外接圆O₁的直径，连接CF并延长交⊙O₁于点G．求证：O、A、E、G四点共圆．

Answer 1

分析 连接AD，DG，GA，GO，DB，EA，EO，由等腰三角形的性质得出OF平分∠DOB，即∠DOB=2∠DOF，由圆周角定理得出∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DOB，得出∠DAB=∠DOF，证出∠DAB=∠DGF，得出G、A、C、D四点共圆，得出∠AGC=∠ADC，证出∠AGO=∠BDC，由圆内接四边形的性质得出∠BDC=∠EAO，由等腰三角形的性质得出∠EAO=∠AEO，证出∠AGO=∠AEO，即可得出结论．

解答 证明：连接AD，DG，GA，GO，DB，EA，EO，如图所示：
∵OF是等腰三角形DOB的外接圆的直径，
∴OF平分∠DOB，即∠DOB=2∠DOF，
又∵∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∴∠DAB=∠DOF，
又∵∠DGF=∠DOF，
∴∠DAB=∠DGF，
∴G、A、C、D四点共圆，
∴∠AGC=∠ADC①，
∵∠AGC=∠AGO+∠OGF=∠AGO+$\frac{π}{2}$②，∠ADC=∠ADB+∠BDC=$\frac{π}{2}$+∠BDC③，
由①②③得：∠AGO=∠BDC④，
∵B，D，E，A四点共圆，
∴∠BDC=∠EAO⑤，
又∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO⑥，
由④⑤⑥得：∠AGO=∠AEO，
∴O、A、E、G四点共圆．

点评 本题是四点共圆综合题目，考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明B，D，E，A四点共圆是解决问题的关键．