Question

16．直线y=-2x+8和双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于点A（1，m），B（n，2）．
（1）求m，n，k的值；
（2）在坐标轴上有一点M，使MA+MB的值最小，直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于点A（1，m），B（n，2）在直线y=-2x+8上，于是得到方程m=-2+8，2=-2n+8，即可得到结论；
（2）如图1，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴与M，求得C（-1，6），求出直线BC的解析式为y=-2x+5，得到M（0，5）；如图2，作点A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴与M，得到D（1，-6），求出直线BD的解析式为y=4x-10，得到M（$\frac{5}{2}$，0）．

解答 解：（1）∵点A（1，m），B（n，2）在直线y=-2x+8上，
∴m=-2+8，2=-2n+8，
∴m=6，n=3
∴A（1，6），B（3，2），
∵点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，
∴k=6；

（2）如图1，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴与M，
则C（-1，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=-k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
∴M（0，5）；
∴AM+BM=$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
如图2，作点A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴与M，
则D（1，-6），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6=m+n}\\{2=3m+n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-10}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=4x-10，
当y=0时，x=$\frac{5}{2}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，0）．
∴AM+BM=$\frac{\sqrt{17}}{2}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$=2$\sqrt{17}$＞4$\sqrt{2}$，
∴M（0，5）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-对称轴对称-最短路线问题，注意待定系数法求直线解析式的运用，有一定的难度．