Question

4．“三等分角”是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实这个问题无解，数学家普斯借助函数给出一种“三等分角”的方法．
探究
如图1，已知：矩形PQRM的顶点P、R都在函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，试证明：点Q必在直线OM上；
应用
如图2，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象交于点P，以P为原心，以2OP位半径作弧交图象于点R，分别过点P和R作x轴，y轴的平行线，两直线交于点M、点Q，
连接OM，则∠MOB=$\frac{1}{3}∠AOB$，请你用所学的知识证明：∠MOB=$\frac{1}{3}∠AOB$．

Answer 1

分析 （1）延长PQ交x轴于点H，设点P（a，$\frac{1}{a}$），R（b，$\frac{1}{b}$），则Q（a，$\frac{1}{b}$），M（b，$\frac{1}{a}$），再由tan∠QOH=tan∠MOB即可得出结论；
（2）根据PR=2OP，PR=2PS，得出OP=PS，∠PSO=∠POS．再由∠PSO=2∠PMO，∠PMO=∠MOB可得出结论．

解答 解：（1）如图1，延长PQ交x轴于点H，设点P（a，$\frac{1}{a}$），R（b，$\frac{1}{b}$），
∵四边形PQRM是矩形，
∴Q（a，$\frac{1}{b}$），M（b，$\frac{1}{a}$）．
∵tan∠QOH=$\frac{QH}{OH}$=$\frac{1}{ab}$，tan∠MOB=$\frac{MB}{OB}$=$\frac{1}{ab}$，
∴∠QOH=∠MOB，即点Q在直线OM上；

（2）如图2，
∵PR=2OP，PR=2PS，
∴OP=PS，
∴∠PSO=∠POS．
∵∠PSO=2∠PMO，∠PMO=∠MOB，
∴∠MOB=$\frac{1}{3}$∠AOB．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点及矩形的性质是解答此题的关键．