Question

16．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．

解答 解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB=CD=10，BG=DH=6，AG=CH=8，
∴AG²+BG²=AB²，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AG=CH}\\{BG=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1=∠5，∠2=∠6，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=BC}\\{∠2=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE-BG=8-6=2，
同理可得HE=2，
在Rt△GHE中，GH=$\sqrt{G{E}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．