Question

4．在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，直线AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则线段DH的长为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根据AD⊥BC，CE⊥AB，可得出∠EAH+∠B=90°∠EAH+∠AHE=90°，则∠B=∠AHE，则△AEH≌△CEB，从而得出CE=AE，根据已知条件得出CH的长，利用勾股定理求出AH的长，再通过证明△AEH∽△CDH，根据相似三角形的对应边比值相等即可求出DH的长．

解答 解：∵AD⊥BC，
∴∠EAH+∠B=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠EAH+∠AHE=90°，
∴∠B=∠AHE，
∵EH=EB，
∴△AEH≌△CEB，
∴CE=AE，
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE-EH=4-3=1，
∵∠AEH=∠CDH=90°，∠AHE=∠CHD，
∴△AEH∽△CDH，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{DH}$，
∵在Rt△AEH中，AH=$\sqrt{A{E}^{2}+E{H}^{2}}$=5，
∴$\frac{5}{1}$=$\frac{3}{DH}$，
∴DH=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，根据同角的余角相等得出∠B=∠AHE，证明三角形全等进而求出CH=1，是解此题的关键．