Question

19．已知抛物线C₁：y=x²-2mx+m²+m+1（m＞1）的顶点为A，抛物线C₂的对称轴是直线x=-1，顶点为点B，且抛物线C₁和C₂关于Q（1，$\frac{1}{2}$）成中心对称．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标（用m的代数式表示）；
（2）求m的值和抛物线C₂的解析式；
（3）过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，点C、D为垂足，如果P是x轴上的点，且连结PA、PB后它们与AC、BD及x轴所围成的两个三角形（△PAC和△PBD）相似，求所有符合上述条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据配方法直接配成顶点式即可确定出抛物线的顶点坐标，
（2）根据抛物线C₁和C₂关于Q（1，$\frac{1}{2}$）成中心对称的性质直接建立方程求解即可得出结论；
（3）分三种情况进行讨论，每一种情况又按对应边不同分两种情况讨论计算．

解答 解：（1）由于抛物线C₁：y=x²-2mx+m²+2m+1=（x-m）²+2m+1，
∴抛物线C₁的顶点A（m，m+1）．
（2）∵抛物线C₂的对称轴是直线x=-1
∴设抛物线C₂的解析式为y=a（x+1）²+k
∴抛物线C₂的顶点坐标为B（-1，k）
由（1）知，抛物线C₁的顶点A（m，m+1）．
∵抛物线C₁和C₂关于Q（1，$\frac{1}{2}$）成中心对称，
∴-1+m=2，m+1+k=1，a=-1，
∴m=3，k=3，
∴设抛物线C₂的解析式为y=-（x+1）²+3；
（3）设点P（p，0）
∵A（3，4），B（-1，3），
∴AC=4，BD=3，
①如图1，

当点P在线段CD上时，（-1＜p＜3），
∴PC=3-p，PD=p+1
∵△PAC和△PBD相似，
∴Ⅰ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{3-p}{p+1}$，
∴p=$\frac{5}{7}$，
∴P₁（$\frac{5}{7}$，0），
Ⅱ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{p+1}{p-3}$，
∴p=15（舍），
∴P₂（15，0），
②当点P在射线CD上时，（p＜-1）
CP=3-p．DP=-1-p
Ⅰ、∵△PAC和△PBD相似，
∴Ⅰ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{3-p}{-1-p}$，
∴p=-13，
∴P₃（-13，0），
Ⅱ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{-1-p}{3-p}$
∴p=15（舍），
③当点在射线DC上时，（p＞3）
∴PC=p-3，PD=p+1
∵△PAC和△PBD相似，
∴Ⅰ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{p-3}{p+1}$，
∴p=-13（舍），
Ⅱ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{p+1}{p-3}$，
∴p=15，
∴P₄（15，0），
即：所有符合上述条件的点P的坐标为P₁（$\frac{5}{7}$，0），P₂（-13，0）．P₃（15，0）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了抛物线的性质，对称的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是确定出抛物线解析式，难点是分类讨论，容易遗漏，需注意．