Question

11．如图，在矩形ABCD内部画△ADP，使PA=PD，若∠APD=30°，点P在∠ABC的平分线上，则$\frac{AB}{BC}$的值是（　　）

• A． $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 作辅助线，将AB分成三部分，BC分成两部分，设PF=BF=x，分别表示AB和BC的长，相比可得结论．

解答 解：过P作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∵点P在∠ABC的平分线上，
∴∠PBF=45°，
∴△PFB是等腰直角三角形，
∴PF=BF，
设PF=x，则BF=x，PB=$\sqrt{2}x$，
∵PD=PA，∠APD=30°，
∴∠DAP=$\frac{180-30}{2}$=75°，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD，
∴BC=2BF=2x，∠PAB=90°-75°=15°，
作AP的中垂线GH，交AP于G，AB于H，连接PH，过P作PM⊥AB于M，
∴△PMB是等腰直角三角形，AH=PH，
∴PM=BM=x，
在Rt△PHM中，∠PHM=∠PAH+∠APH=15°+15°=30°，
∴PH=2x，HM=$\sqrt{3}$x，
∴AH=PH=2x，
∴AB=AH+HM+BM=2x+$\sqrt{3}$x+x=（3+$\sqrt{3}$）x，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{（3+\sqrt{3}）x}{2x}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、矩形的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一的性质等知识，作出辅助线，构建30度的直角三角形PHM是本题的关键．