Question

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边AD上一点，且ED=$\frac{1}{3}$AD，点F在AB上且从点B向点A运动，连接EF并延长交CD的延长线于点G，过点E作EH⊥FG，交BC的延长线于点H，点O是EH的中点，则点O的运动路径长为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 如图，当F与A重合时，点H与K重合，此时点O在M处，当点F与B重合时，点H与G重合，点O在N处，点O的运动轨迹是线段MN．求出KG的长即可解决问题．

解答 解：如图，

当F与A重合时，点H与K重合，此时点O在M处，当点F与B重合时，点H与G重合，点O在N处，点O的运动轨迹是线段MN．
在Rt△AEB中，AE=$\frac{8}{3}$，AB=4，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{13}$，
∵△AEB∽△EBG，
∴$\frac{BE}{BG}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴BG=$\frac{（\frac{4}{3}\sqrt{13}）^{2}}{\frac{8}{3}}$=$\frac{26}{3}$，
∵BK=AE=$\frac{8}{3}$，
∴KG=BG-BK=$\frac{16}{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$KG=$\frac{8}{3}$，
∴点O的运动路径的长为$\frac{8}{3}$．
故答案为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查轨迹、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．