Question

19．如图，在△ABC中，点D，E是边AC的两点，且满足AE=AB，CB=CD，连接BD，BE，△BDE外接圆的面积为S₁，△ABC内切圆的面积为S₂，若DE=8，则S₁-S₂=16π．

Answer 1

分析 分别作∠BAC和∠ACB的角平分线AG、CF，相交于点H，首先说明H是△ABC的内心，H是△BDE的外心，作HI⊥DE于I，由垂径定理得：DI=EI．由DE=8可得，DI=EI=4连接DH，在Rt△DHI中，由勾股定理得DH²-HI²=DI²，由此即可解决问题．

解答 解：如图所示：分别作∠BAC和∠ACB的角平分线AG、CF，相交于点H，可知H是△ABC的 内心，

∵AB=AE、CB=CD，
∴AG垂直平分BE，CF垂直平分BD．
∴H点是△BDE的外心．
作HI⊥DE于I，由垂径定理得：DI=EI．
∵DE=8
∴DI=EI=4
连接DH，在Rt△DHI中，由勾股定理得
DH²-HI²=DI²
∴S₁-S₂=πDH²-πHI²=πDI²=π×4²=16π，
故答案为16π．

点评 本题考查三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．