Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，，是的中点，，垂足为点，，，，，点是边上一动点，设的长为.

（1）当的值为________或________时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.

（2）点在边上运动的过程中，以，，，为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）1或11；（2）能，见解析.

【解析】

(1)若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；

(2)以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由(1)知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件先分别计算一组邻边且它们相等即可证明它是菱形．

解：(1)若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（2）由（1）知，时四边形是平行四边形，但，不是菱形.

由（1）知，时四边形是平行四边形，且，

∵，.

在中，.

∴，平行四边形是菱形.