Question

1．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
32→3²+2²=13→1²+3²=10→1²+0²=1，
70→7²+0²=49→4²+9²=97→9²+7²=130→1²+3²+0²=10→1²+0²=1
所以32和70都是“快乐数”．
（1）最小的两位“快乐数”是10；
（2）证明19是“快乐数”；
（3）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．

Answer 1

分析 （1）根据快乐数的定义即刻得到结论；
（2）由19经过两次运算后结果为1，于是得到结论；
（3）设三位“快乐数”为abc，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以a²+b²+c²=10或100即可得出结论；

解答 解：（1）最小的两位“快乐数”是10，
故答案为：10；
（2）∵19→1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1，
∴19是快乐数；
（3）设三位“快乐数”为abc，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以a²+b²+c²=10或100，
∵a，b，c为整数，且a≠0，∴a²+b²+c²=10 时，
∴1²+3²+0²=10，
?当a=1时，b=3或0，c=0或3，三位“快乐数”为130，103，
当a=3时，b=1或0，c=0或1，三位“快乐数”为310，301，
同理当a²+b²+c²=10时，因为6²+8²+0²=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860，
综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个．又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．

点评 本题考查了因式分解的应用，读懂题意弄清“快乐数”的判定是解题的关键．