Question

10．如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．
（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．
（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，请用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）求出AD=$\frac{1}{2}$AB=5，证明△ACD∽△ABC，得出$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即可得出结果；
（2）由平行线的性质得出AE=EC，由向量的定义容易得出结果．

解答 解：（1）∵D是AB中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD=10×5=50，
∴AC=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$；
（2）如图所示：∵DE∥BC，D是AB的中点，
∴AD=DB，AE=EC，
∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平面向量、平行线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．