Question

10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，点E是线段BD上一点，连接AE，CH⊥AE交AD于F，交AE于G，交AB于H，连接GD．
（1）求证：BE=AF；
（2）求∠DGE的度数．

Answer 1

分析 （1）先依据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠CAF，然后依据同角的余角相等证明∠BAE=∠ACF，接下来依据ASA证明△ABE≌△ADC，从而得到BE=AF；
（2）连接EF，先证明△EDF为等腰直角三角形，然后由∠EGF+∠EDF=180°证明点D、E、F、G共圆，从而得到∠EGD=∠EFD．

解答 解：（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠EAC=90°．
∵CH⊥AE，
∴∠EAC+∠ACG=90°．
∴∠BAE=∠ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°．
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠CAF=45°．
∴∠B=∠CAF．
∵在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC．
∴BE=AF．
（2）如图所示：连接EF．

∵∠B=45°，∠BDA=90°，
∴∠B=∠BAD=45°．
∴BD=AF．
∵BE=AF，
∴DE=DF．
又∵∠EDF=90°，
∴∠EFD=45°．
∵∠EGF+∠EDF=180°，
∴点D、E、F、G共圆．
∴∠EGD=∠EFD=45°．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，四点共圆、圆周角定理的应用，发现点D、E、F、G共圆是解题的关键．