Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）²-m²+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？

Answer 1

分析 （1）将m=2代入抛物线解析式，再将x=0代入抛物线解析式求出y值，由此得出B点坐标；（2）借助三角形的相等找出AE的长度，再根据相似三角形边的比等于相似比即可得出结论．

解答 解：（1）当m=2时，抛物线解析式为y=（x-2）²-2．
把x=0代入y=（x-2）²-2，得：y=2．
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，如图．

在△ADE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠AED=90°}\\{∠CAF=∠DAE}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE．
∵点A（m，-m²+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m²+m）=m²．
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AE}{DE}$，即：$\frac{{m}^{2}}{|m|}$=$\frac{|m|}{DE}$，
∴DE=1．

点评 本题考查了二次函数的综合应用、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）代入m=2和x=0求取y值；（2）由三角形全等用m表示出线段AE，再结合相似三角形的性质找出DE的长．本题属于中档题，失分点在于（2）中求DE的长度，部分同学感觉无从下手，解决该类题型一般都是用到相似三角形的性质，可寻找含所求量的三角形及其相似三角形，借助相似比来得以解决．