Question

19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AD=5$\sqrt{3}$，∠CDF=30°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由BD=CD，OB=OA，得到OD为三角形ABC的中位线，得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可得证；
（2）由直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，利用两直线平行同位角相等求出∠ODB的度数，再由OB=OD，利用等边对等角求出∠B的度数，设BD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆的半径．

解答 解：（1）连接OD，
∵BD=CD，OB=OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）∵DF⊥AC，∠CDF=30°，
∴∠C=60°，
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=60°，
∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
设BD=x，则有AB=2x，
根据勾股定理得：x²+75=4x²，
解得：x=5，
∴AB=2x=10，
则圆的半径为5．

点评 此题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．