Question

8．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理可求得∠BDC=∠ADO，再由半径相等可得∠ADO=∠A，可证得结论；
（2）由条件可求得∠DCE=∠A，再利用角的正切值可求得AE，在Rt△ACE中可求得AD，则在Rt△ADB中可求得AB．

解答 （1）证明：
连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；
（2）解：
∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∴∠DCE=∠A，
∵CE=4，DE=2，
∴tan∠A=tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△ACE中，可得AE=8，
∴AD=6，
在在Rt△ADB中 可得BD=3，
∴根据勾股定理可得AB=3$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查切线的性质以及圆周角定理、直角三角形的性质等，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，注意直角三角形中勾股定理的应用．