Question

8．直线y=$\frac{3}{4}$x+b交y轴于A，交x轴于B，将△OAB绕点B旋转至△DCB，A，O的对应点分别是C，D．若BC垂直于x轴，且△ABC的面积是10，点D的坐标是（-$\frac{32}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

Answer 1

分析 根据解析式求得A、B的坐标，进而根据三角形的面积求得b的值，即可求得解析式，然后分四种情况分别讨论即可求得．

解答 解：∵直线y=$\frac{3}{4}$x+b交y轴于A，交x轴于B，
∴A（0，b），B（-$\frac{4}{3}$b，0），
∵将△OAB绕点B旋转至△DCB，A，O的对应点分别是C，D．若BC垂直于x轴，△ABC的面积是10，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{4}{3}$b|•$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{4}{3}b）^{2}}$=10，解得b=±3，
①当直线y=$\frac{3}{4}$x+3时，
Ⅰ，如图1：当点C在x轴下方时，作DE⊥x轴于E，

∵∠C+∠DBC=∠EBD+∠CBC=90°，
∴∠C=∠EBD，
∴△BDC∽△DEB，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{BE}{DC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵DC=OA=3，BD=OB=4，BC=AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴$\frac{DE}{4}$=$\frac{BE}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴DE=$\frac{16}{5}$，BE=$\frac{12}{5}$，
∴OE=4+$\frac{12}{5}$=$\frac{32}{5}$，
∴D（-$\frac{32}{5}$，-$\frac{16}{5}$）；
Ⅱ，如图2：当点C在x轴上方时，作DE⊥x轴于E，

∵∠C+∠DBC=∠EBD+∠CBC=90°，
∴∠C=∠EBD，
∴△BDC∽△DEB，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{BE}{DC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵DC=3，BD=4，BC=5，
∴$\frac{DE}{4}$=$\frac{BE}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴DE=$\frac{16}{5}$，BE=$\frac{12}{5}$，
∴OE=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）；
②当直线y=$\frac{3}{4}$x-3时，
Ⅰ，如图3：当点C在x轴下方时，作DE⊥x轴于E，

同理求得DE=$\frac{16}{5}$，BE=$\frac{12}{5}$，
∴OE=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）；
Ⅱ，如图4：当点C在x轴上方时，作DE⊥x轴于E，

同理证得：DE=$\frac{16}{5}$，BE=$\frac{12}{5}$，
∴OE=4+$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴D（-$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）；
综上，点D的坐标为（-$\frac{32}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
故答案为（-$\frac{32}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（-$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查了坐标与图形的变化，以及一次函数图象上的坐标特征，三角形的面积的应用以及三角形相似的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．