Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP+PD的值最小时，AQ与PQ之间的数量关系是（　　）

• A． AQ=$\frac{5}{2}$PQ
• B． AQ=3PQ
• C． AQ=$\frac{8}{3}$PQ
• D． AQ=4PQ

Answer 1

分析 如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N，利用平行线的性质，证明AN=PN，利用全等三角形证明NQ=PQ，即可解决问题．

解答 解：如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴DE∥AC，
∵AD=DB，
∴CE=EB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$CA′，
∵DE∥CA′，
∴$\frac{EP}{PC}$=$\frac{DE}{CA′}$=$\frac{1}{2}$，
∵DM∥BC，AD=DB，
∴AM=MC，AN=NP，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=CE=EB，MN=$\frac{1}{2}$PC，
∴MN=PE，ND=PC，
在△DNQ和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDQ=∠QCP}\\{∠NQD=∠PQC}\\{DN=PC}\end{array}\right.$，
∴△DNQ≌△CPQ，
∴NQ=PQ，
∵AN=NP，
∴AQ=3PQ．
故选B．

点评 本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．