Question

10．如图，直线y=kx过点A（1，2），直线y=-2x-5与x轴交于B点，直线y=kx与直线y=-2x-5交于C点，
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△BOC为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，2）代入y=kx求出k的值，得出直线y=2x，由直线y=2x与直线y=-2x-5的解析式组成方程组，解方程组即可；
（2）先求出点B的坐标，作CD⊥OB于D，则OB=$\frac{5}{2}$，OD=$\frac{5}{4}$，得出OD=$\frac{1}{2}$OB=BD，由线段垂直平分线的性质得出BC=OC即可．

解答 （1）解：把点A（1，2）代入y=kx得：k=2，
∴直线y=2x，
∵直线y=2x与直线y=-2x-5交于C点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-2x-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{4}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{2}$）；
（2）证明：如图所示：
∵y=-2x-5，
当y=0时，x=-$\frac{5}{2}$，
∴B（-$\frac{5}{2}$，0），
作CD⊥OB于D，则OB=$\frac{5}{2}$，OD=$\frac{5}{4}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=BD，
∴BC=OC，
∴△BOC为等腰三角形．

点评 本题考查了直线解析式的求法、两条直线的交点、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定；求出交点坐标是解决问题的关键．