Question

在△ABC中，AB=2

5

，AC=4，BC=2，以AB为边在△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形．

（1）如图，延长CB，过点D作DE⊥CB于点E，请写出图中的一对全等三角形，并求线段CD的长．
（2）以AB为边向外作的等腰直角三角形△ABD还有其他作法吗？如果有，请在备用图中画出图形，并求线段CD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=90°，然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
（2）除去（1）的这种情况，还有两种情况：∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

解答：解：（1）如图1，△ACB≌△BED；
∵AC=4，BC=2，AB=2

5

，
∴AC²+BC²=AB²，!
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
延长CB，过点D作DE⊥CB于点E，
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD，
在△ACB与△BED中，

∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD

，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6，
根据勾股定理得：CD=2

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；

（2）还有两种，
如图2，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
在△ACB与△DEA中，

∠ACB=∠DEA ∠CAB=∠EDA AB=DA

，
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，
根据勾股定理得：CD=2

13

；
如图3，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3

2

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．