Question

1．如图，线段AB是半径为6.5的⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点M、N在线段AB上，MN=6，若∠MCN=45°，线段AM的长度为$\frac{7+\sqrt{23}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{23}}{2}$．

Answer 1

分析 作DA⊥AB，使DA=BN，连接DC，DM，根据旋转的性质求得∠ACD=∠BCN，DC=NC，然后证得△DMC≌△NMC，求得DM=MN=6，设AM=x；则AD=BN=AB-AM-MN=7-x，根据勾股定理得出x²+（7-x）²=36，进而就可求得线段AM的长度．

解答 解：作DA⊥AB，使DA=BN，连接DC，DM，
∵线段AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠DAC=∠NBC=45°，
在△ADC和△NCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=NB}\\{∠DAC=∠NBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△NCB（SAS），
∴∠ACD=∠BCN，DC=NC，
∵∠MCN=45°
∴∠ACM+∠BCN=45°
∴∠ACM+∠ACD=45°
即∠MCD=45°=∠MCN，
在△DMC和△NMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=CN}\\{∠MCD=∠MCN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$
∴△DMC≌△NMC（SAS），
∴DM=MN=6，
设AM=x；则AD=BN=AB-AM-MN=7-x
根据勾股定理
AM²+AD²=DM²
x²+（7-x）²=36
2x²-14x+13=0，解得x=$\frac{7±\sqrt{23}}{2}$，
∴AM的长度为$\frac{7+\sqrt{23}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{23}}{2}$．
故答案为$\frac{7+\sqrt{23}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{23}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．