Question

如图①，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦BD于点E，连BC．
（1）求证：∠ABC=∠EBC；
（2）如图②，延长DO交AC于点P，若

AP

CP

=

6

5

，求sin∠A的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，由圆的半径相等所产生的等腰三角形以及切线的性质即可证明：∠ABC=∠EBC；
（2）延长DP交圆于H，设AP=6k，则CP=5k，圆的半径为r，根据相较弦定理以及锐角三角形的定义即可求出sin∠A的值．

解答：解：（1）连接OC，
∵CE是圆的切线，
∴CE⊥OC，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∵CE垂直于弦BD于点E，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ABC=∠EBC；
（2）延长DP交圆于H，设AP=6k，则CP=5k，圆的半径为r，OP=x
∵AP•CP=PD•PH，
∴5k•6k=（x+r）（r-x），
∴r²-x²=30k²，
∴OP²=r²-30k²，
∵sin∠A=

BC

AB

=

OP

OA

=

5

5

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、圆的内心的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．