Question

8．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，则∠DPE=56度．（直接填写答案）

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，证明△BCP≌△DCP；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CBP=∠CDP，根据等腰三角形的性质得到∠CBP=∠E，证明∠DPE=∠DCE=90°，得到答案；
（3）根据菱形的性质、仿照（2）的证明方法解答即可．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴∠DPE=∠ABC；
（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC=56°，
故答案为：56．

点评 本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形和菱形的性质是解题的关键．