Question

14．已知：△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，M、N分别为AB、DE的中点．

（1）如图1，若D、E分别在AC、BC上，直按写出$\frac{MN}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）将图1中的△CDE旋转至如图2的位置时，求$\frac{MN}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CN，CM，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDE=∠A=∠B=45°，CN⊥DE，CM⊥AB，得到DE∥AB，CM⊥DE，过E作EH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质得到EH=MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，即可得到结论；
（2）如图2，连接CN，CM，根据等腰直角三角形的性质得到∠NCE=∠ACM=45°，CE=$\sqrt{2}$CN，BC=$\sqrt{2}$CM，推出△BCE∽△MCN，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接CN，CM，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠A=∠B=45°，CN⊥DE，CM⊥AB，
∵D、E分别在AC、BC上，
∴DE∥AB，∴CM⊥DE，
∴CN，CM在同一条直线上，
过E作EH⊥AB于H，
∴△BHE是等腰直角三角形，四边形EHMN是矩形，
∴EH=MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴$\frac{MN}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）如图2，连接CN，CM，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠NCE=∠ACM=45°，CE=$\sqrt{2}$CN，BC=$\sqrt{2}$CM，
∴$\frac{CE}{CN}=\frac{BC}{CM}=\sqrt{2}$，∠BCE=90°+∠ACE=45°+45°+∠ACE=∠MCN，
∴△BCE∽△MCN，
∴$\frac{MN}{BE}=\frac{CM}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．