Question

9．如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边相交于点E，且AE=3EB．
（1）求证：△ADE∽△CDF．
（2）当CF：FB=1：2，且DF=4$\sqrt{3}$时，求⊙O直径．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠DEA=∠DFC，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出$\frac{3y}{3x}$=$\frac{x}{4y}$，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2$\sqrt{3}$y，可得y，易得AB．

解答 （1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DFC=90°，
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵CF：FB=1：2，
∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，
∵AE=3EB，
∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{3y}{3x}=\frac{x}{4y}$，
∵x、y均为正数，
∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{DC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{{（4y）}^{2}{-（2y）}^{2}}$=2$\sqrt{3}$y，
∵DF=4$\sqrt{3}$，
∴y=2，
∴CD=AB=4y=4×2=8．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，综合运用性质进行推理和计算是解答此题的关键．