Question

3．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$=$\sqrt{2}$-1，
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
同理可得：$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}$）（$\sqrt{2009}$+1）的值．

Answer 1

分析 根据已知得出$（\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+…+\sqrt{2009}-$$\sqrt{2008}）（\sqrt{2009}+1）$$（\sqrt{2009}+1）$，推出$（\sqrt{2009}-1）（\sqrt{2009}+1）$，根据平方差公式求出即可．

解答 解：原式=$（\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+…+\sqrt{2009}-$$\sqrt{2008}）（\sqrt{2009}+1）$$（\sqrt{2009}+1）$=$（\sqrt{2009}-1）（\sqrt{2009}+1）$=2008．

点评 本题考查了分母有理化的应用，解此题的关键是根据题目的结果找出规律，题目比较好，有一定的难度．