Question

18．如图，△ABC中，CA=CB，E、F分别在AC、AB的延长线上，且CE=CF，EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，连接EF．
（1）求证：四边形FEGH是矩形；
（2）若∠A=30°，且四边形FEGH是正方形时，求AC：CE的值．

Answer 1

分析 （1根据矩形的判定证明即可；
（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．

解答 证明：（1）∵CA=CB，CE=CF，
∴∠A=∠B，∠AEF=∠BFE，
∵∠ACF=∠ECB，
∴∠A=∠AEF，
∴EF∥AB，
∵EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，
∴EG∥FH，
∴四边形FEGH是平行四边形，
∵EG⊥AB，
∴四边形FEGH是矩形；
（2）设正方形FEGH的边长为1，EG与BF交点为K，

∵∠A=30°，
∴∠B=∠AEF=∠BFE=∠A=30°，
∴AG=$\sqrt{3}$GE=$\sqrt{3}$，EK=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，GK=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
GB=$\sqrt{3}$GK=$\sqrt{3}（1-\frac{\sqrt{3}}{3}）=\sqrt{3}-1$，
∴AB=AG+GB=$2\sqrt{3}$-1，
∵EF∥AB，
∴AC：CE=AB：EF=$2\sqrt{3}$-1．

点评 此题考查了矩形的性质与判定，关键是利用含30°的直角三角形的性质解决问题．