Question

11．已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（3、0）和点B（-1，0），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线AC交抛物线对称轴于点T，抛物线上是否存在一点R，使△RDT与△RAT的面积相等？若存在，请求出点R的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）假设存在，设点R的坐标为（n，-n²+2n+3）．将抛物线的表达式变形为顶点式，即可得出抛物线对称轴的表达式以及点D的坐标；令x=0，可求出点C的坐标，由A、C两点的坐标结合待定系数法即可求出直线AC的解析式，由两直线相交可求出T点坐标；结合点到直线的距离以及三角形的面积公式即可得出关于n的含绝对值的一元二次方程，解方程即可得出点R的横坐标，代入R点坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（3、0）、点B（-1，0）代入抛物线y=ax²+bx+3中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=9a+3b+3}\\{0=a-b+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故抛物线的表达式为y=-x²+2x+3．
（2）假设存在，设点R的坐标为（n，-n²+2n+3）．
∵抛物线y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为x=1，点D的坐标为（1，4）．
令x=0，则y=3，
即点C的坐标为（0，3）．
∴设直线AC的解析式为y=kx+3，
∵点A（3，0）在直线AC上，
∴有0=3k+3=0，解得：k=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x+3，即x+y-3=0．
令x=1，则y=-1+3=2，
即点T的坐标为（1，2）．
∴DT=4-2=2，AT=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
点R到直线AC的距离d=$\frac{|n-{n}^{2}+2n+3-3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|3n-n²|；
点R到直线x=1的距离h=|n-1|．
S_△RDT=$\frac{1}{2}$DT•h=|n-1|，S_△RAT=$\frac{1}{2}$AT•d=|3n-n²|．
∵△RDT与△RAT的面积相等，
∴|n-1|=|3n-n²|，
解得：n₁=2+$\sqrt{3}$，n₂=2-$\sqrt{3}$，n₃=1-$\sqrt{2}$，n₄=1+$\sqrt{2}$．
∴点F的坐标为（2+$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），（2-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），（1-$\sqrt{2}$，2）和（1+$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离、三角形的面积公式以及解含绝对值的方程，解题的关键是：（1）待定系数法求函解析式；（2）解含绝对值的一元二次方程．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）有点难度，难点在于解含绝对值的方程，解题过程中一点要细心仔细．