Question

17．若经过一个三角形某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角形为等腰三角形过该顶点的生成三角形．
（1）如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，请问△ABC是否是生成三角形？请你说明理由．
（2）若△ABC是等腰三角形过顶点B的生成三角形，∠C是其最小的内角，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

Answer 1

分析 （1）作等腰三角形底边上的高是常用的辅助线作法，可把等腰直角三角形分成等腰直角三角形；
（2）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD．
∴△ABD和△ACD是等腰三角形，
∴△ABC是生成三角形

（2）如图1所示，在△ABC中，∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
由题意得：BD=CD=AB，
∴∠C=∠CBD，∠A=∠ADB，
∵∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C=∠A，
∴∠ABC=2∠C，
如图2，由题意得：AB=BC=AD，BD=CD，
∴∠C=∠A=∠CBD，∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C，
∴∠ABD=2∠C，
∴∠ABC=3∠C．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．