Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M是BD的中点，MN⊥AC．
（1）求证：AN=NC；
（2）当MN=3cm，BD=10cm时，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM=MC=$\frac{1}{2}$BD，从而推知N点是AC边上的中点，所以MN是AC的中垂线；
（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得AN的长．

解答 （1）证明：连接AM、MC．
在△DCB和△BAD中，∠DAB=∠DCB=90°，M是边BD的中点，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$BD，
∵MN⊥AC，
∴AN=CN；

（2）解：∵BD=10cm，M、N分别是边BD、AC的中点．
∴AM=$\frac{1}{2}$BD=5cm，
∵MN=3cm，
∴AN=$\sqrt{A{M}^{2}-M{N}^{2}}$=4cm．

点评 本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．