Question

4．如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C为切点，已知∠BAO=30°，BC=4cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 连接OB、OC．由切线长定理可知AB=AC，又因为OB=OC，从而可知OA是BC的垂直平分线，故此BD=CD=2，利用特殊锐角三角函数可知AB=4，接下来在Rt△OAB中利用特殊锐角三角函数值可求得BO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：如图所示：连接OB、OC．

∵AB，AC是⊙O的切线，B，C为切点，
∴AB=AC．
又∵OB=OC，
∴OA是BC的垂直平分线．
∴BD=CD=2，∠BDA=90°．
又∵∠BAO=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}AB$．
∴BA=4．
∵AB是圆O的切线，
∴OB⊥BA．
∴BO=ABtan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴圆O的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、线段垂直平分线的判定、特殊锐角三角函数值，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．