Question

14．如图，直线y=$\frac{1}{2}x+2$与y轴交于点A，与直线y=-$\frac{1}{2}x$交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x-h）²+k的顶点在直线y=-$\frac{1}{2}x$上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）

• A． -2$≤h≤\frac{1}{2}$
• B． -2≤h≤1
• C． -1$≤h≤\frac{3}{2}$
• D． -1$≤h≤\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 将y=$\frac{1}{2}x+2$与y=-$\frac{1}{2}x$联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=-$\frac{1}{2}x$可求得k=-$\frac{1}{2}h$，于是可得到抛物线的解析式为y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．

解答 解：∵将y=$\frac{1}{2}x+2$与y=-$\frac{1}{2}x$联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴点B的坐标为（-2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x=h，y=k，代入得y=-$\frac{1}{2}x$得：-$\frac{1}{2}$h=k，解得k=-$\frac{1}{2}h$，
∴抛物线的解析式为y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h．
如图1所示：当抛物线经过点C时．

将C（0，0）代入y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h得：h²-$\frac{1}{2}$h=0，解得：h₁=0（舍去），h₂=$\frac{1}{2}$．
如图2所示：当抛物线经过点B时．

将B（-2，1）代入y=（x-h）²-$\frac{1}{2}$h得：（-2-h）²-$\frac{1}{2}$h=1，整理得：2h²+7h+6=0，解得：h₁=-2，h₂=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
综上所述，h的范围是-2≤h≤$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．