Question

10．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（　　）

• A． $\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． AD，AE将∠BAC三等分
• C． △ABE≌△ACD
• D． S_△ADH=S_△CEG

Answer 1

分析 由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BA}{BC}$，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BA}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S_△BAD=S_△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S_△ADH=S_△CEG，可判断D．

解答 解：∵∠B=∠C=36°，
∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BA}{BC}$，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC-CD=BC-AB，
则$\frac{BC-BA}{BA}=\frac{BA}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BA}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故A错误；

∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠CAE=36°，
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；

由△BAE≌△CAD可得S_△BAE=S_△CAD，即S_△BAD+S_△ADE=S_△CAE+S_△ADE，
∴S_△BAD=S_△CAE，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$S_△ABD，S_△CEG=$\frac{1}{2}$S_△CAE，
∴S_△ADH=S_△CEG，故D正确．
故选：A．

点评 本题主要考查黄金分割、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的综合运用，掌握其性质、判定并灵活应用是解题的关键．