Question

15．课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m²．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

Answer 1

分析 （1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．

解答 解：（1）由已知可得：AD=$\frac{6-1-1-1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{4}$，
则S=1×$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$m²，
（2）设AB=xm，则AD=3-$\frac{7}{4}x$m，
∵$3-\frac{7}{4}x＞0$，
∴$0＜x＜\frac{12}{7}$，
设窗户面积为S，由已知得：
$S=AB•AD=x（3-\frac{7}{4}x）=-\frac{7}{4}{x}^{2}+3x=-\frac{7}{4}（x-\frac{6}{7}）^{2}+\frac{9}{7}$，
当x=$\frac{6}{7}$m时，且x=$\frac{6}{7}$m在$0＜x＜\frac{12}{7}$的范围内，${S}_{最大值}=\frac{9}{7}{m}^{2}＞1.05{m}^{2}$，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．

点评 此题考查二次函数的应用，关键是利用二次函数的最值解答．