Question

5．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE=BD；
（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=4$\sqrt{2}$．求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；
（2）连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在RT△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可知CD．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
由旋转的性质可得：
CE=CD，∠DCE=60°．
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE≌△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD．

（2）连接DE．

∵CD=CE，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形．
∴∠CDE=60°，DC=DE．
∵∠ADC=30°，
∴∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，BD=4$\sqrt{2}$，
∴AE=BD=4$\sqrt{2}$．
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{23}$．
∴DC=DE=$\sqrt{23}$．

点评 本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE发现等边三角形与直角三角形是解题的关键．