Question

10．在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为1．

Answer 1

分析 作FQ⊥y轴于点Q，证△AFQ≌△DAO得FQ=OA=OC=4，结合FQ∥OC且∠FQO=90°知四边形OCFQ是矩形，从而得∠PCD=∠AOD=90°，设OD=x，则CD=4-x （1≤x≤4），再证△AOD∽△DCP得$\frac{AO}{DC}$=$\frac{OD}{PC}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{PC}$，PC=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，据此可得答案．

解答 解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，

∴∠FQA=∠AOD=90°，
∴∠FAQ+∠AFQ=90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴FA=AD，∠FAD=90°，
∴∠FAQ+∠DAO=90°，
∴∠AFQ=∠DAO，
在△AFQ和△DAO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FQA=∠AOD}\\{∠AFQ=∠DAO}\\{FA=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFQ≌△DAO（AAS），
∴FQ=OA=OC=4，
又FQ∥OC，且∠FQO=90°，
∴四边形OCFQ是矩形，
∴∠PCD=∠AOD=90°，
∵∠ADE=90°，
∴△AOD∽△DCP，
∴$\frac{AO}{DC}$=$\frac{OD}{PC}$，
设OD=x，则CD=4-x  （1≤x≤4），
则$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{PC}$，
即PC=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴当x=2时，PC_最大=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的最值，证∠PCD=∠AOD=90°利用相似三角形的判定与性质得出PC的长度表达式是解题的关键．