Question

2．根据下列不同条件，求二次函数的解析式：
（1）已知当x=2时，y有最小值3，且经过点（1，5）．
（2）图象经过（-3，0），（1，0），（-1，4）三点．

Answer 1

分析 （1）由题意二次函数的图象的对称轴为x=2，函数的最小值为3，可设二次函数为：y=a（x-2）²+3，且函数过点（1，5）代入函数的解析式求出a值，从而求出二次函数的解析式．
（2）根据与x轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x-1）（x+3），然后把点（-1，4）的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式．

解答 解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为x=2，函数的最小值为3，
∴可设函数解析式为：y=a（x-2）²+3，
∵函数图象经过点（1，5），
∴a×1+3=5，
∴a=2，
∴二次函数的表达式为：y=2（x-2）²+3，
即y=2x²-8x+11；
（2）∵二次函数的图象交x轴于（-3，0）、（1，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x-1）（x+3）（a≠0）．
将x=-1，y=4代入，得6=a（-1-1）（-1+3），
解得a=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{2}$（x-1）（x+3），
即y=-$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式时，注意合理利用抛物线解析式的三种形式．