Question

已知抛物线y=x²-2x+a与直线y=x+1有两个公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₂＞x₁≥0．
（1）求a的取值范围；
（2）作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，求四边形ABFE面积最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）联立直线和抛物线的解析式消去y得到的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于0可求得a的取值范围；
（2）利用（1）可表示出AE、BF、EF，表示出梯形ABFE的面积，再结合根与系数的关系得到关于a的函数，利用函数的增减性可求得其最大值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x+a与直线y=x+1相交∴x²-2x+ax+1 得x²-3x+a-1=0．
由题意可知x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的两个不相等的根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=a-1，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₁•x₂≥0，
得a-1≥0，a≥1，
又∵△=13-4a＞0，
∴a＜

13

4

，
故1≤a＜

13

4

．
（2）∵A、B两点在直线y=x+1上，
∴y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
∴AE=x₁+1，BF=x₂+1，且OE=x₁，OF=x₂，
∴EF=x₂-x₁，
∴S_{四边形ABFE}=

1

2

（AE+BF）EF=

1

2

（x₁+1+x₂+1）（x₂-x₁）=

1

2

（x₂²-x₁²）+（x₂-x₁），
又∵x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的两根，
∴x₁²=3x₁-a+1，x₂²=3x₂-a+1，x₁x₂=a-1，x₁+x₂=3，
∴x₂²-x₁²=3（x₂-x₁），x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

13-4a

∴S_{四边形ABFE}=

5

2

（x₂-x₁）=

5

2

13-4a

，
又∵1≤a＜

13

4

，
∴a=1时，S_梯形ABFE取最大值

15

2

．

点评：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，在（2）中利用根与系数的关系用a表示出四边形的面积是解题的关键．