Question

1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且BD=CE=BC．若∠A=25°，则∠BFC=130°；若∠A=45°且BF：CF=5：12，则AE：AB=2：3．

Answer 1

分析 连接AF，根据三角形外角的性质可得∠BEF+∠BDC=∠∠BAC+∠BFC，再根据等腰三角形的性质可得到∠BFC=180°-2∠BAC，可求得∠BFC的大小；由条件可求得∠BFC=90°，根据勾股定理可求得BC，EF，在Rt△BEF中，可求得BE，过O作OC⊥AB于点O，根据等腰三角形的性质可得到EO，可求得AE和AB，可求得答案．

解答 解：如图1，连接AF，
则∠BEF=∠EAF+∠AFE，∠BDC=∠FAD+∠FDA，
∴∠BEF+∠BDC=∠BAC+∠EFD=∠BAC+∠BFC，
在△BCE中，由BC=CE，
∴∠BEF=∠ABC，同理∠ACB=∠BDC，
∴∠BEF+∠BDC=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BFC=180°-2∠BAC=130°；
当∠A=45°时，由上可得∠BFC=90°，
∵BF：CF=5：12，
∴可设BF=5x，CF=12x，
在Rt△BCF中，由勾股定理可知BC=13x，则EF=13x-12x=x，
在Rt△BEF中，由勾股定理可得BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{26}$x，
如图2，过O作CO⊥AB，垂足为O，
∵BC=EC，
∴OE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{26}}{2}$x，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得CO=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{26}}{2}$x，
∵∠A=45°，
∴AO=CO=$\frac{5\sqrt{26}}{2}$x，
∴AE=AO-OE=$\frac{5\sqrt{26}}{2}$x-$\frac{\sqrt{26}}{2}$x=2$\sqrt{26}$x，
∴AB=AE+BE=3$\sqrt{26}$x，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：130°；2：3．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理，先求得∠A和∠BFC的关键是解题的关键，在第二空中注意勾股定理和等腰三角形性质的运用．