题目内容
9．已知△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图1，正方形DEFG内接于△ABC，其中DE在AB上，点G在AC上，点F在BC上，试求出正方形DEFG的边长；（2）①如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{60}{49}$；
②如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{60}{61}$；
③如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{60}{25+12n}$．
分析 （1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
（2）①作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；
②方法与①类似；
③作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；
解答 
解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$BC•AC，
CN=$\frac{12}{5}$，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设正方形边长为x，
则$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5}$，
∴x=$\frac{60}{37}$；
（2）①在图2中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设每个正方形边长为x，则
$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{2x}{5}$，
∴x=$\frac{60}{49}$．
故答案为：$\frac{60}{49}$．
②类比①，在图3中，
∵△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设每个正方形边长为x，则
$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{3x}{5}$
∴x=$\frac{60}{61}$．
故答案为：$\frac{60}{61}$．
③在图4中，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
∵△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设每个正方形边长为x，则
$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{nx}{5}$，
∴x=$\frac{60}{25+12n}$．
故答案为：$\frac{60}{25+12n}$．
点评 主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．
阅读快车系列答案
如图，已知点D在双曲线y=$\frac{20}{x}$（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且BD=CE=BC．若∠A=25°，则∠BFC=130°；若∠A=45°且BF：CF=5：12，则AE：AB=2：3．
如图，AB∥CD，若∠1=35°，则∠2的度数为145°．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．