Question

16．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质求出∠B=∠C=60°，根据等式性质求出∠BAD=∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；
（2）由（1）知道△ABD∽△DCE，对应边成比例得出$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，列方程解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠ADB+∠BAD=120°，
∵∠ADB+∠CDE=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
（2）∵△ABD∽△DCE
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
设正三角形边长为x，
则$\frac{x}{x-3}=\frac{3}{2}$，
解得x=9，
即△ABC的边长为9．

点评 本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．能够证明△ABD∽△DCE是解决问题的关键．