Question

13．如图，菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°．
（1）直接写出菱形ABCD的面积；
（2）当点E在边AB上运动时，
①连结EF，求证：△DEF是等边三角形；
②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；
③直接写出四边形DEBF周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求得菱形的两条对角线的长度，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解即可；
（2）①连接BD，证明△ADE≌△BDF，从而可得到ED=DF，由因为∠EDF=60°，所以三角形DEF为等边三角形；
②由△ADE≌△BDF可知：S_△ADE=S_△BDF，所以四边形的面积=△EDB的面积+△DBF的面积=△EDB的面积+△DAE的面积=菱形面积的一半；
③由△ADE≌△BDF可知：BF=AE，所以BF+BE=AE+BE=6，所以当ED和DF最短时，四边形的周长最小，然后由垂线段最短可知当DE⊥AB时，DE最短，然后在Rt△ADE中即可求得DE的长，从而可求得四边形周长的最小值．

解答 解：（1）连接BD、AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥BD，∠DAO=$\frac{1}{2}$∠A=30°．
∵AD=AB，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD=AD=AB=6．
∵在Rt△ADO中，∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=3，AO=$\sqrt{A{D}^{2}-O{D}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴AC=6$\sqrt{3}$．
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×6$=18$\sqrt{3}$．
（2）①由（1）可知：△ABD为等边三角形．
∴AD=BD，∠ADB=60°．
∵∠ADE+∠EDB=60°，∠FDB+∠EDB=60°，
∴∠ADE=∠FDB．
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}×120°=60°$．
∴∠DAE=∠DBF．
在△DAE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=DF}\\{∠DAE=∠DBF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DBF．
∴DE=DF．
又∵∠EDF=60°
∴△EDF为等边三角形．
②四边形DEBF的面积=9$\sqrt{3}$．
理由：∵△DAE≌△DBF．
∴S_△ADE=S_△BDF，
∴四边形DEBF的面积=△EDB的面积+△DBF的面积=△EDB的面积+△DAE的面积=$\frac{1}{2}$×菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}×18\sqrt{3}=9\sqrt{3}$．
③∵△DAE≌△DBF．
∴BF=AE．
∴BF+BE=AE+BE=AB=6．
∴当ED、DF有最小值时，四边形的周长最短．
由垂线最短，可知当DE⊥AB时，ED、DF最短．
在Et△ADE中，∠DAE=60°，
∴sin60°=$\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}×6$=3$\sqrt{3}$．
∴四边形DEBF的周长的最小值=DE+DF+BE+BF=DE+DF+AB=3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$+6=6$\sqrt{3}$+6．

点评 本题主要考查的是菱形的性质，解答本题需要同学们熟练掌握菱形的性质和全等三角形的性质和判定，证得△DAE≌△DBF是解题的关键．