Question

12．如图，在△ABC中，AD=DC，BE=EF=FC，AE、AF与BD相交于点G、H．已知${S_{△AHD}}=\frac{3}{10}$，则S_{四边形GEFH}的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{6}{11}$
• D． $\frac{11}{20}$

Answer 1

分析 连接DF，根据三角形中位线定理可得DF∥AE，DF=$\frac{1}{2}$AE．然后运用相似三角形的性质得到GH、DH与DC的关系，然后运用等积变换就可得到S_{四边形EFHG}与S_△ABC的关系、S_△AHD与S_△ABC的关系，从而解决问题．

解答 解：连接DF，如图．
∵AD=DC，EF=FC，
∴DF∥AE，DF=$\frac{1}{2}$AE
∵GE∥DF，
∴△BGE∽△BDF，
∴$\frac{BG}{BD}$=$\frac{GE}{DF}$=$\frac{BE}{BF}$．
∵BE=EF，
∴BF=2BE，
∴BD=2BG，DF=2EG，
∴AE=2DF=4EG，
∴AG=3EG=$\frac{3}{2}$DF．
∵AG∥DF，
∴△AHG∽△FHD，
∴$\frac{HG}{HD}$=$\frac{AG}{FG}$=$\frac{3}{2}$．
设HD=2k，
则HG=3k，DG=5k，BD=2BG=2GD=10k．
∵$\frac{{S}_{△AGH}}{{S}_{△ADB}}$=$\frac{GH}{DB}$=$\frac{3}{10}$，$\frac{{S}_{△ADB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{3}{10}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
∴S_△AGH=$\frac{3}{20}$S_△ABC．
∵$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{EF}{3EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴S_{四边形EFHG}=S_△AEF-S_△AGH=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{3}{20}$S_△ABC=$\frac{11}{60}$S_△ABC．
∵$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ADB}}$=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{{S}_{△ADB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$．
∵S_△AHD=$\frac{3}{10}$，
∴S_△ABC=3，
∴S_{四边形EFHG}=$\frac{11}{60}$×3=$\frac{11}{20}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了等积变换、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，由多中点联想到三角形的中位线定理，并运用相似三角形的性质和等积变换是解决本题的关键．