Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，O是线段AB的中点，线段OC与以AB为直径的⊙O交于点D，射线BD交AC于点E，∠BAC=90°，那么下列等式成立的是（　　）

• A． BD=$\frac{2}{3}$BC
• B． AD=OD
• C． AD=CD
• D． AE=CD

Answer 1

分析 设⊙O的半径为a，则AB=2a，AC=2a，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}=\sqrt{5}a$，求得CD=$\sqrt{5}a-a$，作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{OC}=\frac{DN}{AC}$=$\frac{ON}{OA}$，得到DN=$\frac{2}{\sqrt{5}}$a，ON=$\frac{1}{\sqrt{5}}$a，于是得到BN=$\frac{\sqrt{5}+1}{5}$a，求得AE=$\sqrt{5}a-a$，即可得到结论．

解答 解：设⊙O的半径为a，则AB=2a，AC=2a，
∵∠OAC=90°，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}=\sqrt{5}a$，
∵OD=a，
∴CD=$\sqrt{5}a-a$，
作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，
∵∠BAC=90°，
∴DN∥AC，
∴△ODN∽△OAC，
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{DN}{AC}$=$\frac{ON}{OA}$，
∴DN=$\frac{2}{\sqrt{5}}$a，ON=$\frac{1}{\sqrt{5}}$a，
∴BN=$\frac{\sqrt{5}+1}{5}$a，
∵△BDN∽△BEA，
∴$\frac{BN}{AB}=\frac{DN}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{5}a-a$，
∴CD=AE，
故选D．

点评 本题考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．